「五羽轮比」双打接力赛出场顺序优化模型与博弈分析

校内数模练习赛 A 题 — 比赛出场顺序问题。本文构建了基于 Bradley-Terry 模型的得分率预测、马尔可夫链蒙特卡洛仿真与 Maximin 鲁棒优化的完整模型体系，获练习赛三等奖

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一、问题背景与规则解析

"五羽轮比"是一种 50 分制双打接力赛，核心规则如下：

• 对阵双方各派出 5 名选手，出场顺序赛前确定后不可更改
• 任意一方率先得到 10、20、30、40 分时更换选手
• 出场组合构成首尾相接的循环序列：若出场顺序为 $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$，则对阵组合依次为 $(A_1,A_2)\to (A_2,A_3)\to (A_3,A_4)\to (A_4,A_5)\to (A_5,A_1)$

该问题的核心矛盾在于：如何利用局部的历史对战数据，评估任意两人组合的对抗能力，并通过排列组合寻找到在特定博弈环境下的最优出场序列。

本题分为三个子问题：

问题	场景	难度
问题一	对方顺序固定，求我方最优	单边静态优化
问题二	对方针对我方反制，我方需稳健调整	不完全信息博弈
问题三	双方从 6 人中选 5 人，纳什均衡分析	零和博弈均衡

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二、基础模型构建

2.1 得分率预测模型

设我方组合为 $A_{ij}=(A_i,A_j)$，对方组合为 $B_{kl}=(B_k,B_l)$。定义 $E(A_{ij},B_{kl})$ 为我方在单回合中赢下 1 分的期望概率。

对于有历史记录的组合，采用比分加权平均法：

$$E(A_{ij},B_{kl})=\frac{S_A}{S_A+S_B}\text{\hspace{1em}(1)}$$

例如，$(A_1,A_2)$ 对阵 $(B_1,B_2)$ 的历史比分为 23:21、21:18、21:19，我方总得分 65，对方 58，得分率 $E=65/123\approx 0.528$。

对于无历史记录的组合，采用 Bradley-Terry 模型进行个体能力拆解：

$$E(A_{ij},B_{kl})=\text{sigmoid}\left(\frac{{\alpha }_i+{\alpha }_j}{2}+{\gamma }_{ij}-\frac{{\beta }_k+{\beta }_l}{2}-{\delta }_{kl}\right)\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中 ${\alpha }_i$、${\beta }_k$ 为选手个体能力参数，${\gamma }_{ij}$、${\delta }_{kl}$ 为双打协同度参数。通过交替最小二乘法（ALS）迭代求解，得到选手能力矩阵如下：

选手	$A_1$	$A_2$	$A_3$	$A_4$	$A_5$
能力值	0.2683	0.2367	0.2208	-0.1021	-0.2399

选手	$B_1$	$B_2$	$B_3$	$B_4$	$B_5$
能力值	0.1953	0.0655	-0.0810	-0.0160	-0.2521

由此可补全所有组合对阵的得分率矩阵 $\mathbf{M}$，为后续仿真提供数据基础。

2.2 马尔可夫链蒙特卡洛赛事仿真

五羽轮比的动态特性在于每对组合的出场时间不固定（取决于比分达到整十分的速度），传统封闭式解析难以处理。我们构建马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）仿真模型：

设我方出场顺序 ${\mathbf{O}}_A=[o_1,\dots ,o_5]$，对方 ${\mathbf{O}}_B=[B_1,\dots ,B_5]$。第 $t$ 阶段的组合为：

$$C_t^A=(o_t,o_{(t\mathrm{mod}5)+1}),C_t^B=(B_t,B_{(t\mathrm{mod}5)+1})\text{\hspace{1em}(3)}$$

每一分的胜负服从伯努利分布：

$$X_t\sim \text{Bernoulli}(p_t),p_t=\mathbf{M}(C_t^A,C_t^B)\text{\hspace{1em}(4)}$$

仿真终止条件为 $S_A^{(n)}\ge 50$ 或 $S_B^{(n)}\ge 50$。通过 $N=3000$ 次独立仿真消除随机误差，得到任意出场顺序的期望胜率。

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三、问题一求解：单边静态优化

已知对方出场顺序固定为 $B_1,B_2,B_3,B_4,B_5$，求我方最优出场顺序。

3.1 求解方法

我方 5 名选手的全排列共 $5!=120$ 种可行策略，解空间极小，采用全排列遍历 + MCMC 仿真求全局最优解：

$$\underset{{\mathbf{O}}_A\in \Omega }{\max }{P}_{win}({\mathbf{O}}_A,{\mathbf{O}}_{B\_fixed})\text{\hspace{1em}(5)}$$

3.2 结果分析

经仿真求解，最优出场顺序为 $[A_4,A_5,A_1,A_2,A_3]$，预期胜率 81.30%。

排名	出场顺序	胜率	组合序列
1	$A_4\to A_5\to A_1\to A_2\to A_3$	81.30%	$A_4{A}_5\to A_1{A}_5\to A_1{A}_2\to A_2{A}_3\to A_3{A}_4$
2	$A_5\to A_4\to A_3\to A_2\to A_1$	80.20%	$A_4{A}_5\to A_3{A}_4\to A_2{A}_3\to A_1{A}_2\to A_1{A}_5$
3	$A_3\to A_4\to A_5\to A_1\to A_2$	79.50%	$A_3{A}_4\to A_4{A}_5\to A_1{A}_5\to A_1{A}_2\to A_2{A}_3$
4	$A_1\to A_5\to A_4\to A_3\to A_2$	79.20%	$A_1{A}_5\to A_4{A}_5\to A_3{A}_4\to A_2{A}_3\to A_1{A}_2$
5	$A_2\to A_5\to A_1\to A_4\to A_3$	78.00%	$A_2{A}_5\to A_1{A}_5\to A_1{A}_4\to A_3{A}_4\to A_2{A}_3$

最优顺序的阶段对位如下：

阶段	分阈值	我方组合	对方组合	得分率
1	10	$(A_4,A_5)$	$(B_1,B_2)$	0.3499
2	20	$(A_1,A_5)$	$(B_2,B_3)$	0.5505
3	30	$(A_1,A_2)$	$(B_3,B_4)$	0.5587
4	40	$(A_2,A_3)$	$(B_4,B_5)$	0.6372
5	50	$(A_3,A_4)$	$(B_1,B_5)$	0.5473

3.3 策略解读

最优顺序呈现出典型的田忌赛马式阶梯配置：

• 第一阶段以低得分率组合 $(A_4,A_5)$ "避其锋芒"，消耗对方的强势阶段
• 第二至第四阶段逐步释放 $(A_1,A_2)$、$(A_2,A_3)$ 等高能力组合
• 第四阶段得分率高达 0.6372，在比赛后期关键分上最大化胜率

胜率排名前十的出场组合均呈现"高能力组合向中后阶段集中"的排布特征，印证了阶段权重与组合能力匹配是提升静态胜率的核心逻辑。

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四、问题二求解：不完全信息博弈

我方原计划顺序 $[A_1,A_2,A_3,A_4,A_5]$，对方将从针对该顺序胜率最高的三种反制策略中择一。我方应如何调整？

4.1 对方反制策略识别

在零和博弈框架下，对方的决策目标为最小化我方胜率。对对方 120 种全排列逐一仿真，得到针对我方原定顺序胜率最低的 TOP3 反制策略：

编号	对方出场顺序	对方胜率	我方胜率
反制 1	$B_2\to B_5\to B_4\to B_3\to B_1$	47.17%	52.83%
反制 2	$B_3\to B_4\to B_5\to B_2\to B_1$	46.77%	53.23%
反制 3	$B_4\to B_5\to B_2\to B_1\to B_3$	45.97%	54.03%

我方原定顺序在对方最狠的反制下，最坏胜率仅 52.83%，暴露了固定阵型易被针对性克制的脆弱性。

4.2 Maximin 鲁棒优化模型

采用博弈论中的 Maximin 极大极小准则构建鲁棒优化模型：

$${\mathbf{O}}_A^{\ast }=\arg \underset{{\mathbf{O}}_A\in {\Omega }_A}{\max }\left[\underset{{\mathbf{O}}_B\in {\mathcal{B}}_{adv}}{\min }{P}_{win}({\mathbf{O}}_A,{\mathbf{O}}_B)\right]\text{\hspace{1em}(6)}$$

• 内层 $\min$ ：求解给定顺序在对方所有反制策略下的最坏场景胜率
• 外层 $\max$ ：在所有可行顺序中，找到最坏胜率最高的鲁棒最优解

4.3 结果分析

经全排列遍历求解，鲁棒性排名前十的出场顺序如下：

排名	出场顺序	最坏胜率	平均胜率
1	$A_4\to A_5\to A_1\to A_2\to A_3$	67.00%	69.11%
2	$A_1\to A_5\to A_4\to A_3\to A_2$	65.83%	67.21%
3	$A_3\to A_4\to A_5\to A_1\to A_2$	65.27%	66.52%
4	$A_1\to A_5\to A_3\to A_4\to A_2$	65.17%	65.28%
5	$A_2\to A_5\to A_1\to A_4\to A_3$	65.07%	66.59%

与初始顺序的对比：

评价指标	原定顺序	鲁棒最优顺序	提升
最坏场景胜率	52.83%	67.00%	+14.17 pp
平均胜率	53.36%	69.11%	+15.75 pp

4.4 策略解读

有趣的是，鲁棒最优顺序 $[A_4,A_5,A_1,A_2,A_3]$ 与问题一的静态最优顺序完全一致。这说明该顺序兼具：

1. 静态最优性：在确定性对阵下胜率最高（81.30%）
2. 鲁棒最优性：在敌方最佳反制下底线最高（67.00%）

该策略的核心逻辑是：将最强组合 $(A_2,A_3)$ 放在第四阶段（分阈值 30→40），既可规避对方在前期的针对性压制，又能在比赛后半段的"决胜阶段"获得最大化得分优势。

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五、模型性能验证

5.1 关键假设

假设	内容	合理性
A1	每分胜负独立同分布	常规统计假设
A2	历史数据能反映真实能力	数据量有限但覆盖主要组合
A3	个体能力可加性	Bradley-Terry 模型已验证有效

5.2 模型评价

• 计算效率：120 种排列 × 3000 次仿真 = 36 万次模拟，代码在单机上可在数分钟内完成
• 稳定性：3000 次独立仿真有效消除随机误差，重复实验胜率波动 < 1%
• 可推广性：模型框架可适配同类多人制、分阶段接力类团体赛事的出场策略优化

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六、结论

1. 静态最优：对方固定顺序下，最优出场顺序为 $[A_4,A_5,A_1,A_2,A_3]$，胜率 81.30%
2. 鲁棒最优：不完全信息博弈下，同一顺序将最坏场景胜率从 52.83% 提升至 67.00%，实现抗克制与高胜率的统一
3. 方法论：Bradley-Terry 个体能力拆解 + 马尔可夫链蒙特卡洛仿真 + Maximin 鲁棒优化的组合方法，有效解决了历史数据不完整、赛制动态性强、对抗信息不对称三大难题

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附录：核心代码

得分率计算与 Bradley-Terry 模型

import numpy as np
from itertools import permutations

def calculate_score_rate(scores):
    """根据历史比分计算得分率"""
    my_total = sum(s[0] for s in scores)
    opp_total = sum(s[1] for s in scores)
    if my_total + opp_total == 0:
        return 0.5
    return my_total / (my_total + opp_total)

def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

# Bradley-Terry 模型：个体能力 + 协同度拆解
# E(A_ij, B_kl) = sigmoid((α_i+α_j)/2 + γ_ij - (β_k+β_l)/2 - δ_kl)

五羽轮比 MCMC 仿真

class BadmintonRelaySimulator:
    def __init__(self, score_matrix):
        self.score_matrix = score_matrix
    
    def get_combinations(self, order):
        """根据出场顺序生成循环组合序列"""
        n = len(order)
        return [(order[i], order[(i + 1) % n]) for i in range(n)]
    
    def simulate_match(self, my_order, opp_order, num_simulations=3000):
        """蒙特卡洛仿真单场比赛"""
        my_combos = self.get_combinations(my_order)
        opp_combos = self.get_combinations(opp_order)
        wins = 0
        
        for _ in range(num_simulations):
            my_score, opp_score = 0, 0
            stage = 0
            
            while my_score < 50 and opp_score < 50:
                my_pair = my_combos[stage]
                opp_pair = opp_combos[stage]
                p_win = self.score_matrix.get((my_pair, opp_pair), 0.5)
                
                # 模拟该阶段内的每一分
                while my_score < 50 and opp_score < 50:
                    if np.random.random() < p_win:
                        my_score += 1
                    else:
                        opp_score += 1
                    
                    # 检查阶段切换
                    threshold = (stage + 1) * 10
                    if my_score >= threshold or opp_score >= threshold:
                        stage = min(stage + 1, 4)
                        break
            
            if my_score >= 50:
                wins += 1
        
        return wins / num_simulations

全排列寻优与 Maximin 鲁棒优化

# 问题一：静态寻优
my_players = ['A1', 'A2', 'A3', 'A4', 'A5']
opp_order_fixed = ['B1', 'B2', 'B3', 'B4', 'B5']
all_permutations = list(permutations(my_players))

results = []
for perm in all_permutations:
    win_rate = simulator.simulate_match(list(perm), opp_order_fixed)
    results.append((list(perm), win_rate))

results.sort(key=lambda x: x[1], reverse=True)
best_order, best_rate = results[0]
print(f"最优顺序: {best_order}, 胜率: {best_rate*100:.2f}%")

# 问题二：Maximin 鲁棒优化
# 先识别对方的 TOP3 反制策略
opp_results = []
for opp_perm in all_permutations:
    my_win_rate = simulator.simulate_match(
        ['A1','A2','A3','A4','A5'], list(opp_perm)
    )
    opp_results.append((list(opp_perm), my_win_rate))

opp_results.sort(key=lambda x: x[1])  # 我方胜率最低 = 对方最优
adv_strategies = [s[0] for s in opp_results[:3]]

# Maximin：最大化最坏场景胜率
robust_results = []
for perm in all_permutations:
    my_order = list(perm)
    worst_win_rate = min(
        simulator.simulate_match(my_order, opp)
        for opp in adv_strategies
    )
    robust_results.append((my_order, worst_win_rate))

robust_results.sort(key=lambda x: x[1], reverse=True)

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声明：本文的部分代码和结论分析由 kimi-2.5pro 辅助完成。题目来源为 2026 数模培优营数模练习赛 A 题。